量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不发生 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可克隆好友定理”。本文证明你你什儿 定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态完整篇 都是前要克隆好友的,证明从前量子态可克隆好友的条件为,实际上认为量子态前要克隆好友,“量子态不可克隆好友定理”名不符真是。本文进一步证明,发生无穷多的满足你你什儿 另1个 条件,而且“量子态不可克隆好友定理”应当改为“量子态可克隆好友定理”。2.表示另1个 正交的量子态前要克隆好友,对于的非正交态的情况,现有理论那末讨论,本文完整篇 讨论你你什儿 情况。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态前要按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总前要找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可克隆好友的条件。4. 量子克隆好友算符对波函数叠加态作用,会是因为自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子克隆好友算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却前要将纯态波函数变添加任意波函数,从前的算符不将会发生。5. 量子态克隆好友的真正现象报告 那末于理论上与否完会 克隆好友,而在于克隆好友过程中线性叠加态不可输入和不可输出,你你什儿 不将会性与“量子态不可克隆好友定理”的证明无关。6. 极少量实验证明,微观粒子的单量子态完整篇 都是前要克隆好友的,说量子态不可克隆好友毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的完整篇 都是光子的单个偏振态,它们完整篇 都是前要克隆好友的。由此本文的结论是,“量子态不可克隆好友定理”是另1个 概念含糊、矛盾重重、完整篇 错误的命题。建立在你你什儿 定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不发生。

  关键词 量子力学,量子通讯,克隆好友算符,量子态不可克隆好友定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可克隆好友定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可克隆好友定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出你你什儿 著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现发生某些现象报告 。“量子态不可克隆好友定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不发生的。

  从“量子态不可克隆好友定理”的证明过程前要看出,该定理的前提是假定任意量子态前要克隆好友。而且给出另外另1个 量子态前要克隆好友的条件为,不满足这另1个 条件的态才是不可克隆好友的。代表另1个 态正交,表示另1个 态不正交,它们完整篇 都是前要克隆好友的。而且“量子态不可克隆好友定理”名不符真是!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的克隆好友算符定义,对于任意量子态,发生无穷多的满足的条件。对于的情况,现有理论认为它是因为,是另1个 平庸解,那末讨论价值。本文指出我过多 一定是因为,并对你你什儿 情况进行完整篇 讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数前要表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总前要找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可克隆好友条件。而且“量子态不可克隆好友定理”实际上应当改成“量子态不可克隆好友定理”。

  某些文献又把该定理称为“未知量子态不可克隆好友定理”,然而对那此是未知的量子态,却那末明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可克隆好友定理”的说法在字面上过多有现象报告 的,将会另1个 量子态是未知的,我那末乎 原型和模板,又为什么我么我在么在完会 克隆好友呢?比如对于叠加态,将会已知,你你什儿 态就已知。将会任意,你你什儿 态就未知。要克隆好友你你什儿 态首先前要知道。这是先决条件,未知态不可克隆好友的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对克隆好友算符的定义,即使未知,仍然前要找到无穷多的,使之满足的条件,而且“未知量子态不可克隆好友定理”的说法也是不成立的。

  将量子克隆好友算符对波函数叠加态作用,会是因为自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子克隆好友算符的定义是自相矛盾的。将量子态克隆好友算符作用在任意波函数上,其形式不变。将你你什儿 算符作用在另1个 纯态上,却前要将它变成任意波函数,从前的算符是不发生的。事实上量子克隆好友算符过多另1个 抽象符号,那末具体形式。将会其定义是自相矛盾的,在数学上根本不将会找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都前要有它的具体形式。

  事实上,量子态克隆好友的真正现象报告 那末于理论上与否完会 克隆好友,而在于克隆好友过程如保输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量是因为波函数崩塌。量子态克隆好友过程首先前要输入量子态,而输入过程也前要看成有一种测量操作。而且量子叠加态是不可输入的,将会一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在你你什儿 意义上,谈论线性叠加态的克隆好友是那末意义,但它与“量子态不可克隆好友定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可克隆好友定理”显然与事实不符。极少量实验证明,微观粒子的单量子态完整篇 都是前要克隆好友的。激光器不但完会 克隆好友单个光子,而且完会 大批量地克隆好友各种光子。连续光谱激光器不但前要克隆好友有一种单光子,而且前要通过调整参数,来极少量克隆好友各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就将会是另1个 相当成长期期是什么的句子是什么是什么的句子的句子图片 的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的完整篇 都是光子的单个偏振态,而完整篇 都是所谓的线性叠加态,它们完整篇 都是前要克隆好友的。然而“量子态不可克隆好友定理”给人的一般印象却是,任何量子态完整篇 都是可克隆好友,这是不真实的。

  实际量子态的克隆好友涉及相互作用,是另1个 非常繁杂的过程,完整篇 都是用Wootters定义的你你什儿 简单算符就能表示的。“量子态不可克隆好友定理”是另1个 概念含糊、矛盾重重、完整篇 错误的命题,不但毫无意义,而且严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  而且本文的结论是,“量子态不可克隆好友定理”不成立,量子通讯所谓的具与否条件保密性的物理学基础不发生。

  二.“量子态不可克隆好友定理”的证明

  “量子态不可克隆好友定理”的证明真是非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待克隆好友模板的粒子发生任意态,另外另1个 粒子发生标准的纯态。Wootters和Zurek引入另1个 克隆好友量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式如保,Wootters那末说明,完会 根据具体的情况选取。与图片复印的过程比较,算符最少复印机,最少要复印的图片,最少白纸。

  采用相同的纯态,将克隆好友算符对另外另1个 任意态作用,按照(1)式完整篇 都是:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有另1个 解,。将会这另1个 条件满足,就前要克隆好友。将会不满足,就不可克隆好友。现有理论讨论了的情况,对的情况那末讨论,本文重点对的情况进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态前要克隆好友。即发生另1个 算符,前要把纯态变成态,而且讨论在那此情况下前要克隆好友的现象报告 。是因为正交态是前要克隆好友的,用通俗的语言说,假设有一台量子克隆好友机,它完会 克隆好友 态,就一定完会 克隆好友与态正交的态,但完会 克隆好友与不正交一起又有的态。

  而且按照你你什儿 证明,量子态完整篇 都是不前要克隆好友,过多有选取性地克隆好友。对于不同的量子态,前要不同的克隆好友机,亲们前要制造不同的克隆好友机,来克隆好友不同的量子态。而且所谓的“量子态不可克隆好友定理”名不符真是,实际上应当改成“通用量子态克隆好友机不发生定理”。

  三.“量子态不可克隆好友定理”不成立的证明

  3. 1 量子态克隆好友算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,克隆好友算符对波函数的作用满足以下关系:

这是因为不改变任意波函数,即,但却前要将纯态波函数变成,即是因为是不变算符,即。将会也是任意的,与前要完整篇 不一样,是因为完整篇 都是不变算符,应当将写为:

将会,完整篇 都是,而且量子克隆好友算符的定义自相矛盾,是不将会发生的。

  亲们前要举另1个 具体的例子。假设要克隆好友氢原子的第一激发态,另1个 合理的做法过多,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

将会式正交的,按照(2)的定义,是前要克隆好友的,克隆好友过程是:

显然不将会找到另1个 算符,能使 一起成立,而且(8)式不将会成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较繁杂。要将另1个 纯态波函数变成另外另1个 波函数保持不变,又前要将任意纯态波函数变成态波函数。在你你什儿 算符基础上证明“量子态不可克隆好友定理”是那末意义的。

  3. 2 量子态克隆好友算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也将会不成立。举另1个 简单例子,氢原子的跃迁过程满足某些禁戒规则,比如角量子数和磁量子数前要满足。而且从基态到诸如的激发态是不将会的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是前要克隆好友的。

  事实上,量子态的克隆好友是另1个 非常繁杂的现象报告 ,根本不将会通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的克隆好友算符的基础上的,所谓的“量子态不可克隆好友定理”毫无意义。

  3. 2 发生无穷多的可克隆好友非正交态

  以下证明对于,仍然前要有。按照(4)式,你你什儿 非正交态仍然前要克隆好友。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下另1个 基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选取本征值的本征函数发生正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上前要严格证明,任意量子力学定态波函数前要表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上另1个 性质,亲们来重新讨论“量子态不可克隆好友定理”的证明。将系统的任意另1个 波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

将会,(13)式变成:

要使(14)式成立,前要:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数将会是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余另1个 方程,有另1个 未知数,唯一选取。解方程得。而且对于的情况,对于任意波函数,总前要找到另外另1个 波函数与它正交。按照Wootters对克隆好友算符的定义,它们完整篇 都是前要克隆好友的。

  对于的情况,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余另1个 方程,选取另1个 未知数,完整篇 都是无穷多种最好的办法。也过多说对于,前要与否穷多个与之正交,因而通用量子态克隆好友机发生。

  对于不正交,的情况,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的另1个 方程解得,而且完会 才将会。是因为你你什儿 态前要克隆好友,但一台克隆好友机完会 克隆好友另1个 量子态。

  对的情况,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的另1个 方程,选取另1个 未知数,原则上与否穷多个解。将会它们都完会 满足(4)和(16)式,按照定义完整篇 都是前要克隆好友的。

  以下举另1个 具体例子,比如,从第另1个 式子得到。选取,按照(20)式,可得以下波函数:

这另1个 波函数是非正交的,但仍然满足可克隆好友条件,前要用同一台克隆好友机克隆好友。

  任意选取的值,前要得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情况下,“量子态不可克隆好友定理”不成立。亲们总前要找到无穷多的,使它们满足可克隆好友的条件。

  3. 3 克隆好友算符作用于线性叠加态是因为矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是前要克隆好友的。在(4)式的导出过程中,前可是单态,也前可是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将克隆好友算符作用其上,前要得到有一种结果。第有一种是克隆好友算符先对单个态作用,即:

第二种克隆好友算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是前要实现的,理由是基矢前要克隆好友的。(24)式则是不可实现,但那末说明是因为。

  你你什儿 看法真是有点痛 道理,但那末找到现象报告 的本质。将会按照克隆好友算符的定义,以上有一种计算最好的办法完整篇 都是合理的。亲们完会 说哪有一种对哪有一种错,从逻辑上也前要认为(24)式那末错。事实上,(11)、(21)和(22)式完整篇 都是叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们完整篇 都是前要克隆好友的。

  以下来讨论(24)式不将会成立的是因为。前要将(24)式看成克隆好友算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,完会 测量的是波函数的平方,完整篇 都是:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不将会改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然发生。产生现象报告 的本质是因为在于,如前文所述,克隆好友算符的定义(1)式有一种过多矛盾的。你你什儿 矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用过多另1个 例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的克隆好友现象报告 ,前要先了解线性叠加态的真结构理意义。量子力科学学另1个 统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由另1个 态组成,跳出的几率是态跳出的几率是。它我过多 是因为另1个 态前要一起跳出,过多认为在任意时刻只跳出其中的另1个 态。

  比如对于氢原子中的另1个 电子,它不将会一起即发生基态,又发生第一激发态。这另1个 情况发生能量差,从基态进入激发态是前完会 量输入的。亲们不将会一起克隆好友氢原子的这另1个 态,完会 克隆好友其中的另1个 态。在你你什儿 意义上,谈论线性叠加态的克隆好友有一种过多那末意义的。

  将会按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的另1个 态。比如对于叠加态,任何单次测量完会 得到其中的另1个 态,不将会一起得到另1个 态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  而且量子态克隆好友真正的现象报告 在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的角度,为了完会 克隆好友另1个 量子叠加态,首先前要进行测量,以了解你你什儿 态的情况。克隆好友过程前要输入和输出量子态,而输入和输出也前要看成是有一种测量。将会测量是因为叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不将会的。

  在实际的过程中,量子态的克隆好友涉及繁杂的相互作用,完整篇 都是用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可克隆好友定理”发生过多的现象报告 ,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上完整篇 都是前要用克隆好友的,亲们应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选取本征值的单态完整篇 都是可克隆好友的。对量子定态波函数的叠加态,每一次克隆好友将得到其中的另1个 单态,多次克隆好友结果得到态的几率为

  完会 从前理解,完会 与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义克隆好友算符有一种过多自相矛盾的。将克隆好友算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却前要将变成任意。你你什儿 自相矛盾的算符在数学上是不将会发生的,是因为“量子态不可克隆好友定理”成为另1个 含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对克隆好友算符的定义,满足的量子态完整篇 都是前要克隆好友的。而在实际的过程中,满足这另1个 条件的量子态却我过多 完会 克隆好友。而且“量子态不可克隆好友定理”不发生。

  将会考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总前要找到另1个 波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了前要找到无数的波函数与它正交外,前要找到无数个波函数,使它们的积分满足。而且“量子态不可克隆好友定理”实际上应当称为“量子态可克隆好友定理”。

  将克隆好友算符作用到量子叠加态,会是因为矛盾的结果。这我过多 是因为叠加态不可克隆好友,过多克隆好友算符的定义有一种有现象报告 。量子态克隆好友的真正现象报告 在于,叠加态的输入和输出是不将会的,你你什儿 不将会性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看后中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释现象报告 ”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…亲们迄今为止并未形成共识。量子力学发展的你你什儿 二元情况不仅带来认识论方面的误导,而且最好的办法备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的现象报告 ”,物理学家前要“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,处置量子观念的滥用是因为的认识论上的现象报告 和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的你你什儿 看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是另1个 科学哲学现象报告 ,但现在它将会完整篇 都是纯理论现象报告 。它将会越界进入技术领域,而且深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处前要看后哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有另1个 奇怪的说法,即另1个 量子态在那末被测量以前亲们对它那此过多能说。它是发生叠加态,而完整篇 都是选取态。波尔有句名言:另1个 现象报告 在那末被观察以前完会 说是另1个 现象报告 。具体地说,对于另1个 自旋为的粒子,在那末进行测量以前,完会 说它的自旋为。将会按照波函数的叠加公式,它或许将会发生态。再比如对于另1个 水平偏振的光子,在那末被测量以前,亲们完会 说它是水平偏振的,将会按照波函数的线性叠加公式,它将会是垂直偏振。你你什儿 看法与实际完整篇 不符,它将会破坏物理守恒规律,是因为荒诞的结果。

  比如甲向乙发射另1个 自旋为粒子,乙方接受到的一定是另1个 自旋为的粒子。将会角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不将会改变的。同样,甲向乙发射另1个 水平偏振的光子,将会乙用水平偏振器测量,你你什儿 光子完会通过,说明你你什儿 光子的偏振在运动过程中那末改变。是因为是光的偏振方向过多电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向我过多 改变。将会用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。是因为是偏振器使光子的电场方向改变,而完整篇 都是该光子那末选取的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是极少量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的另1个 系统。在任意时刻,量子体系要么发生态,要么发生情况,不将会即发生情况又发生情况,过多将会一起发生态。而且这有一种解释是等价的,过多说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的克隆好友也是那末意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的完整篇 都是单量子态,不将会是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不将会是叠加态。“量子态不可克隆好友定理”是另1个 完整篇 不靠谱的理论,它把克隆好友过程用另1个 那末简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程完整篇 不符。在真实的物理学中,要克隆好友另1个 量子态涉及繁杂的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿贴到 复印机,一按键盘就了事。在那此基本现象报告 那末搞清楚以前,就声称量子态不可克隆好友。甚至明明知道单量子态和正交态前要克隆好友,明明知道激光器过多光子克隆好友机,却仍然声称量子态不可克隆好友,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量以前微观粒子前要一起发生多重情况,用测量是因为波函数崩塌来解释一切。以你你什儿 完整篇 错误的理论为基础,技术开发必然是因为失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是另1个 典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯从前重要的事情寄托在你你什儿 完整篇 不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则将会是另外另1个 例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的将会。按照量子力学的统计系综解释,任哪年刻另1个 微观粒子完会 发生某个选取的情况,不将会发生叠加态,线性叠加过多有一种统计平均的表示最好的办法。按照量子力学的测量理论,任哪年刻另1个 微观粒子前要发生叠加态,但测量是因为波函数崩塌。而且叠加态既完会 输入过多能输出,量子计算机就将会是另1个 空头理论上的东西,在现实中难以实现。你你什儿 现象报告 类式 与量子计算机的消相干现象报告 ,但又有不同。从技术上说消相干是将会的,但叠加态的输入和输出是不将会的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称将会做出量子计算机,而且完整篇 都是真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。亲们将会过多利用微观粒子的另1个 分立情况做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它过多对传统电子计算机的模拟,而完整篇 都是真正利用了叠加态,完会 进行叠加态并行计算的量子计算机。很极少量子计算机专家将会还那末认识到你你什儿 点,将会说某些人知道你你什儿 点,但不我要我说出来罢了。关于你你什儿 现象报告 ,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,2002-2003.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,2006年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释现象报告 ,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.